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Le billard
L'énoncé de la situation :
On considère un billard de forme rectangulaire qui est quadrillé de façon régulière (c’est-à-dire qu’il a un nombre entier de lignes et un nombre entier de colonnes).
Aux 4 sommets du billard il y a une ouverture qui permet d’envoyer un rayon lumineux le long des diagonales du quadrillage.
Le rayon lumineux « rebondit » sur les côtés du rectangle et ne peut sortir du billard que s’il arrive sur un des 4 sommets.
Un exemple:
Question
Existe-t-il un moyen de déterminer à l’avance le nombre de carreaux traversés par le rayon lumineux dans le billard en fonction de ses dimensions?
Une présentation du problème en vidéo :
Quelques simulations :
Vous trouverez ci-dessous deux simulations pour illustrer le problème du billard et faciliter les exemples.
- Voici une simulation faite avec Scratch2 : Simulation_Billard.sb2 Attention, suivant la version de scratch, quelques petits bug peuvent surgir... Testez le fichier avant présentation devant les élèves!
- Voici une simulation faite avec Python 3 : Simulation_Billard.py Cette version est normalement stable.
Les mathématiques en jeu :
- Notions de multiples et de diviseurs
- Notion de nombres premiers et de nombres premiers entre eux
- Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir
- Calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres entiers
- Calcul littéral lors des conjectures et des preuves.
D'autres ressources disponibles :
- Analyse mathématique
- Analyse didactique
- Exemples de mise en œuvre dans la classe
- Ouverture mathématique, prolongement didactique
- Séquence organisée autour du problème en classe de 3ème : ICI ou ICI