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Les narrations de recherche

" Il s'agit de faire raconter par l'élève lui même la suite des actions qu'il a réalisées au cours de la recherche des solutions du problème. Un nouveau contrat est passé avec l'enseignant : l'élève s'engage à raconter du mieux possible toutes les étapes de sa recherche, à décrire ses erreurs, comment lui sont venues de nouvelles idées ; en échange, l'enseignant s'engage à faire porter son évaluation sur ces points précis sans privilégier la solution ".  (Sauter, 1998 : en ligne)

Les narrations de recherche, proposées initialement par l'IREM de Montpellier ont fait l'objet de nombreux travaux à l'IREM de Paris 7 et à l'IREM de Lyon. Pour nous, un point essentiel de l'enseignement de la démonstration en mathématiques pose problème : il y a confusion entre :

• la communication de la démonstration sous une forme rigoureuse et partagée
  et
• la recherche de la démonstration pendant laquelle toutes sortes de stratégies peuvent être utilisées.

La première est importante et doit être travaillée : elle met en jeu des compétences de logique, de rigueur et nécessite des connaissances des règles formelles utilisées en mathématiques.

La seconde met en jeu des compétences de créativité et de curiosité. Elle doit être travaillée et le dispositif de "narrations de recherche" permet de faire entrer les élèves dans le jeu mathématique en combinant à la fois les temps de recherche et les temps de communication.

Un exemple de mise en œuvre

Énoncé du problème

Le chiffre des unités de 13¹  est 3.

Le chiffre des unités de 13² est 9.

• Quel est le chiffre des unités de 13³  ?
• Quel est le chiffre des unités de 13⁴  ?
• Quel est le chiffre des unités de 13⁵  ?
• Quel est le chiffre des unités de 13²⁰⁰⁰  ?
• Quel est le chiffre des unités de 13⁵⁰⁰⁰³  ?

Lire attentivement l'énoncé : c'est ici impératif pour éviter de partir dans de longs et fastidieux calculs. Ce n'est effectivement pas le résultat du calcul qui est demandé mais seulement le chiffre des unités.

• Faire preuve de suffisamment d'autonomie face à la calculatrice : cet exercice peut être résolu correctement et complètement à cette condition. Les derniers calculs ne peuvent effectivement pas être affichés par la calculatrice de collège.
   
• Rédiger rigoureusement pour éviter des confusions, notamment au niveau mathématique avec l'emploi souvent abusif du signe  d'exponentiation.

   

• Mettre en place une technique logique: il est nécessaire de mettre en évidence la répétition d'une même suite de chiffres et non pas réitérer indéfiniment la multiplication par 3 ou 13.

Analyse de productions

• La majorité des élèves réalise rapidement que seul le chiffre des unités est à prendre en compte.

   

• On peut s'attendre à voir apparaître l'erreur classique de confusion entre puissance et multiplication.
  

   

• De nombreux élèves sont confrontés aux limites de la calculatrice. Ils sont arrêtés par un message d'erreur lorsque le résultat est trop grand pour être affiché. Cela peut être l'occasion pour le professeur de revenir sur des théorèmes élèves
  

   

• Certains élèves calculent les puissances successives sans essayer de trouver une suite logique. C'est l'occasion pour le professeur de pointer la nécessité d'essais organisés et réfléchis. 

• D'autres ne trouvent pas la période mais organisent leur recherche en différenciant, par exemple, les exposants pairs et impairs. 

• On a remarqué cependant que beaucoup d'élèves réussissent à mettre en évidence la période de quatre chiffres. Une étape supplémentaire est nécessaire pour utiliser ce résultat lorsque l'exposant est grand. Le professeur est amené à pointer l'utilisation de la division euclidienne.