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Des problèmes pour le cycle 3
Parmi les problèmes recensés dans les pages de ce site, beaucoup peuvent être utilisés dès le début du cycle 3. Dans ces pages, nous proposons ces problèmes avec des analyses issues d'expérimentations.
Des Situations Didactiques de Recherche de Problèmes
Le problème qui déchire est un excellent exemple de problème qui peut être utilisé dès le CM1. D'un point de vue des contenus mathématiques qui apparaissent dans la recherche en CM1, notons la notion de multiple, la division euclidienne. Voir un compte rendu dans la Newsletter 1. En CM2 et en sixième, ce problème est l'occasion de parler de parité, de division euclidienne, de reste et de quotient. La photo ci-dessous montre le tableau d'une classe de CM2 dans une phase de recherche que nous avons pilotée dans le cadre d'une liaison CM2-6eme.
Le plus grand produit est un problème abordable en cycle 3. L'organisation des essais, la décomposition additives des nombres et la division euclidienne peuvent être abordés dans ce problème. La difficulté d'atteindre une preuve formelle en cycle 3 peut être l'occasion de mettre en évidence un "exemple générique", c'est à dire, "l'explicitation des raisons de la validité d'une assertion par la réalisation d'opérations ou de transformations sur un objet présent non pour lui‐même, mais en tant que représentant caractéristique d'une classe d'individu" (Balacheff, 1987, page 20). Ici, par exemple, on peut prendre l'exemple de 3 nombres consécutifs, dont l'un sera divisible par 3 et les deux autres congrus respectivement à 1 et 2.
Les régions du disque est un problème de dénombrement qui met en garde contre un raisonnement qui s'appuierait sur des exemples qui cette fois ne seraient pas "générique". La conjecture évidente issue de premiers essais débouche sur un résultat qui s'avère faux. Là encore la preuve formelle ne sera pas un objectif à atteindre en cycle 3, en revanche, le mécanisme de preuve peut parfaitement être abordé avec des élèves de primaire sur des cas simples, par exemple avec 4 points sur le cercle (c'est la 4ème méthode de l'analyse mathématique).
Des problèmes pour chercher
Le château de cartes est un problème de pré-algébrisme où l'élève devra repéré un motif qui décrit les constructions successives.
Les puissances, même si le concept n'est pas manipulé en cycle 3, peut tout à fait être abordé, en expliquant que l'on va multiplier un nombre par lui-même et recommencer l'opération pour ne s'intéresser qu'au chiffre des unités du résultat. La notion de reste dans la division euclidienne apparaît naturellement.
La fourmi, bien que les probabilités ne soient pas au programme du cycle 3, on visera plutôt à travers ce problème la représentation d'une situation par un arbre.
La somme des dix est un problème mêlant arithmétique et algèbre où l'objectif est de trouver une méthode efficace pour calculer, sans calculatrice, la somme de dix entiers consécutifs. Ce problème peut être vite résolu pour les élèves mais la mise en commun peut être organisée sous forme de "battle". Cette organisation va permettre une réelle stimulation et recherche d'efficacité dans la méthode proposées par les élèves.
Des fictions réalistes
Fuites à Fukushima est un problème de déplacement aléatoire d'un robot. Il peut mobiliser des notions assez poussées comme les suites récurrentes mais, en cycle 3, est très pertinent pour mettre en oeuvre des techniques de dénombrement comme compter de grandes quantités.
L'arbre est quand à lui un problème de modélisation d'évolution d'un arbre. Comment va-t-il grandir ? Quelle sera sa forme ? On peut étudier ici plusieurs paramètres et les modèles d'évolutions que l'on peut choisir sont divers et variés et vont dépendre du choix de modélisation fait par les élèves.