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Le plus grand produit
L'énoncé de la situation :
Parmi les décompositions additives d'un entier naturel, trouver celle(s) dont le produit des termes est le plus grand.
cet énoncé, suivant la classe peut se décliner :
en primaire ou au collège :
Le nombre 23 peut s'écrire de plusieurs façons comme la somme d'entiers :
par exemple : 23 = 11+5+7 .
Trouver parmi ces sommes, celle dont le produit des termes est maximum.
Et avec d'autres nombres ?
ou bien, en explicitant le calcul :
On peut écrire le nombre 23 sous forme de somme de nombres entiers, par exemple :
23 = 20 + 3 ou encore 23 = 7 + 8 + 8
En multipliant tous les termes de chaque somme, on trouve 60 pour la première et 448 pour la seconde.
Parmi toutes les sommes possibles, quelle est celle qui donne le plus grand produit ?
Même question pour le nombre 100. Y-a-t-il une règle ?
Les mathématiques en jeu :
- les rôles particuliers de 0 et 1 dans la multiplication et l'addition (éléments neutres, élément absorbant).
- les décompositions additives d'un entier (éléments de combinatoire, opérations sur les entiers,...)
- raisonnements par disjonction de cas.